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教育科研
益智课堂,数学核心素养践行之地
作者:程蕾    信息来源:本站原创    【发布日期:2017-05-31】    浏览次数:    字体[]
    


    核心素养是学生在接受相应学段的教育过程中,逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。 作为学科核心素养之一的数学核心素养, 是指具有数学基本特征的、适应个人终身 发展和社会发展需要的人的思维品质与关 键能力,而数学思维是数学核心素养的重 要组成部分。学生数学核心素养的培育能 否落实,思维能力能否得到提升,关键在于课堂教学。

基于此,中国教育科学研究院“益智 课堂与思考力培养的实践研究”课题组进行了相关探索。益智课堂有其优势和鲜明特点,它以学生充分的动手操作为依托,以真实、有趣的问题困境为起点,以益智器具为载体,通过多样性的探究活动,让学生积累思维经验,掌握思维技能,提升思维品质,也是发展学生数学核心素养的 途径之一。本文以“汉诺塔”活动课为例,主要探析课堂教学中如何培养学生的 思维能力,促进数学核心素养的提升。

一、优化任务,培养数学表征能力

器具“汉诺塔”由 8 个环片按大小依 次叠放在有三根立柱的支架上,因形如塔 状而得名,主要解决这一问题困境:在一 次只能移动一个环片、大环不能压在小 环上的操作规则中,如何借助 b 柱(过渡 柱),把 a 柱(起始柱)的环片依次挪移到 c 柱(目标柱)上(见图 1)。如果教师在 课堂中仅要求学生按照规则练习操作,益智课堂的器具就只能停留在“玩具”层面,课堂也停留在“游戏”层面。那么如何将游戏转向思维训练活动?

本课例在学生已能熟练操作器具的基础上,将训练目标聚焦在优化操作任务上,使学生思维由混沌状态向头脑的心理 操作转化,增强思考的逻辑性,锻炼、掌握多种思维技能。因此,教师需要对操作 要求提出限定,用表格形式引导学生思 考,表格问题要突出其思考和探索的要 点,明晰各环节间的关联及所蕴含的可能 性规律(见表 1)。

 

 

首先,教师要将问题聚焦于不同的 环数“完成操作最少用几步”,将学生的 思维焦点转向“寻找行动最有效的序列”, 优化移动步骤,此为益智课堂倡导的目标 之一。其次,启发学生思考“第一环移到 哪个柱上”更助于实现最优步骤,从 1~8 环分别探究,重点突出假设、检验、推 理、判断、提炼、概括等思维技能训练。 表格的使用,也为后续发现规律提供有逻 辑的数据支持,利于培养学生的数学表征能力。

数学表征能力指的是使用符号、文 字、图表、公示、模型等形式以及数学结 构化的方式对数学核心概念、数学关系、 数学问题进行关联式表达,使数学知识与数学问题之间建立一种映射,使复杂的问 题变得简单、烦琐的形式得以简化的能力。作为理解数学的一个教学手段,它有 助于学生理解概念、关系或关联,形象地 观察学习对象,更有兴趣地深入思考与探 索,并体会数学表征是进行数学理解、交 流和分析的工具。

二、动手操作,关注数学推理能力

数学推理是从数和形的角度对事物进行归纳类比、判断、证明的过程,是数 学发现的重要途径,也是帮助学生理解数 学抽象性的有效工具。数学推理能力是通 过对数学问题、数学对象、数学现象的观 察、分析、实验、验证、归纳、演绎等做 出新的推论,并在此过程中证明推论的合理性的能力[1]。《义务教育数学课程标准(2011 年版)》指出,学生应“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动,发展合情 推理能力和初步的演绎推理能力”。其中, 合情推理就是一种合乎情理的推理,主要 包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜 想、估算等思维形式。

探究过程中,教师可引导学生从1个环片开始尝试。由于环数少,难度小,学 生很快就能发现所用最少步数和移动位 置。比如,移动 1 个环片,最少用 1 步,第一环移到目标柱上;移动 2 个环片,最少用 3 步,第一环移到过渡柱上。在移动3 环前,教师可提出问题:“如果不进行操作,你是否知道第一环移到哪个柱上?” 这里教师创设了问题情境,引导学生尝试 推理。推理过程也是论证过程,主要是依 据前面 2 环的移动步骤,学生通过分析得 出:3 环要想移到目标柱上,1 环和 2 环就 得“让路”,将 2 环移到过渡柱上,1 环移 到目标柱上。这一过程,教师要对学生的 回答进行纠正和提炼,帮助他们规范数学 表达,进一步培养学生推理论证的严密性 和条理性。

现代教育论强调“要让学生做科学, 而不是用耳朵去听科学”。因此,教师还 可组织学生通过操作来检验猜想。在移 动 4 环时,教师让学生先推理第一环移到 哪个柱上,最少用多少步,然后操作器具 进行验证,并分组验证不同移动方式的结 果,让学生体会、检验推理的过程,从中体悟数学推理过程。

三、发现规律,增强数学建模能力

模型思想是小学数学学习的十大核心概念之一,此阶段中的数学模型表现形式为一系列的概念、算法、关系、定律、 公式等。参照《义务教育数学课程标准(2011 年版)》的相关内容,可将建模过程 简化为三个环节。

首先,从现实生活或具体情境中抽象 出数学问题,发现和提出问题,这是数学建模的起点。“完成操作最少用几步”的 目标有规律性但又较为隐蔽,在移动 5 个 环片时,教师可要求学生不动手操作,仅 根据列表从 1~4 环的最少步数情况找出规 律(见表 2):第一环应移到哪个柱,完成 操作最少用几步。此问题难度适中,提供 了较为清晰的数学信息,可让学生运用已有数学知识,发现规律,增强其数学建模 能力。

其次,用数学符号建立方程、不等式、函数等,表示数学问题中的数量关系 和变化规律。学生可通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等数学活动,完成 模式抽象,建立数学模型。教师引导学生 观察、思考单双数环时,第一环的移动位置和最少步数与环片的关系,正是捕捉 具有建模意义、可操作的数学信息的过 程。通过思考和体验,他们可以归纳其中 的规律,抽象出数学结构:单数环时,第 一环移到目标柱,双数环时,第一环移到 过渡柱,并推算出完成 5 环操作最少用 31(15×2+1)步。

最后,通过模型求出结果,并讨论结 果的意义。将移动 5 环时发现的规律运用到 6~8 环的第一环移动位置及最少移动步数 推算上,从一个问题的解决中总结概括出一类问题解决的数学模型,此为引导学生发现 规律、培养数学建模能力的重要意义。

四、启发思考,提高数学交流与 表达能力

学生的思维具有内隐性,让思维看 得见、摸得着的一种重要方式就是数学表 达。数学交流与表达能力是学生将自己理 解和掌握的数学知识、方法、策略、思想 通过口头或书面的方式呈现出来的能力。其培养与发展的关键在于教师的课堂提问 和追问艺术,如果问题起点低、教师表述 不明等,容易缩小思考空间或无法聚焦问 题核心,很难激发学生的深入思考。

有效的核心问题应该是:(1)包含学 习者容易理解的措辞;(2)陈述简单,问 题中没有混杂额外的问题或说明;(3)让 学生关注课堂内容;(4)确定学生回答问 题时将会用到的单个思维操作[2]。因此, 当学生移动 3 个环发现最少用 7 步才能达 到目标柱时,教师可这样提问:“怎么判 断移动 3 个环片用 7 步就是最少的步骤?” 这一问题简单明确,关键词“判断”是学生需要执行的思维操作,主干内容“用 7 步就是最少的步骤”直接服务于思维训练 目标,疑问词“怎么”显示出问题的开放 性,这能让学生围绕本课训练目标与教师 进行更多的数学交流与表达。

对学生的回答进行加工,再提出新的 问题,即加工性问题,可促进学习者反思自己的初始回答,理解隐藏在表面观点背 后的思想问题,激励其更全面地理解课堂 内容,构建更完善的认知操作。例如,学 生再次演示移动 3 个环片并回答:操作时 发现有的步骤多,然后删掉了某些步骤。可以看出,学生是通过尝试操作—调整优 化—达到目标的路径完成的,并未注意到 优化步骤过程中的关键点。这时教师可提 出限定焦点的加工性问题:“以最少步骤 移出的关键环节是什么?”其中,关键词“最少步骤”“关键环节”对学生的思维进 行聚焦和提升,可将其回答导向更高的 层次。

在有效问题的激发下,学生才能进行 更深入的思考,做出更高水平的回答,促 进其数学理解与数学思维的发展,进一步 完善思维训练活动中的认知结构。

五、凸显思想,培养解决问题的能力

数学思想是人们对数学理论与内容的 本质认识,直接支配着数学的实践活动。益智课堂倡导教师不仅要重视学生对显性 知识、技能的学习和训练,还应注重数学 思想的指导,从而培养学生解决问题的能 力。“汉诺塔”教学活动中,教师可挖掘 三种数学思想,并在恰当时机进行点拨。

其一,倒推思想。它是从结果出发 倒过来推想的一种思想,也是解决问题常用的一种策略,其中涉及分析、选择、判 断、对比等一系列思维活动。比如,推算 完成 5 环的最少步数,可引导学生进行倒推:最后 1 环要移到目标柱,前 4 环要先移到过渡柱再移到目标柱,已知移 4 环到目标柱最少要 15 步,那么由此推算完成 5环的操作最少需要 31 步(15×2+1)。

其二,转化思想。它是通过观察、类比、联想等思维过程,将原问题转化为一个新问题的求解,以达到解决原问题的 目的。比如,活动伊始,起始柱、过渡 柱、目标柱是固定的,但随着环片数目的 增多,每一环的目标柱、过渡柱都会发生 转化,且在不同的移动步骤中,每一环的 目标柱、过渡柱也在随时转化。用这样的 认识来看待操作过程,当移动环片较多 时,运用总结出的规律,易于把较复杂问 题变成简单问题,把新问题变成已解决的问题。

其三,递归思想。在数学教学实践中,数学思想与数学方法关系密切,思想指导方法,方法渗透思想。例如,教 师在总结 5 环的移动步数时,引导学生发现操作中要“看 5 环想 4 环”“看 4 环想 3 环”……这正是递归思想的体现,呈现出 依次类推、“用同样步骤重复”的方法,让学生既获得思想上的认识,也得到方法上的指导。

总之,数学核心素养是在学生体验数 学情境、经历数学活动、感悟数学思考的过程中产生的,而以益智器具的问题困境 为思考起点,以操作探究为活动方式的益 智课堂教学,是培养和发展学生数学核心素养的一个有效方法。

当然,随着本研究的进一步探索,有关学生核心素养及学生思维能力的认识和 实践会有所深入,对益智课堂的教学策略 和方法也会进行修正和创新,使之更加完善,以期让益智课堂成为培育和提升学生数学核心素养更为有效的一个场所。


 

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